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Equação: origem, explicações e exemplos resolvidos
Equação é uma palavra derivada do latim (equatione) e significa igualdade. Portanto não existe uma equaçãose não houver o sinal de igualdade. Outra coisa importante, o objetivo de se resolver uma equação é encontrar um valor oculto, então, outro fator importante para que se haja uma equação é ter um valor oculto que se queira encontrar.
Observe a seguinte equação: 2x-12=8. O que queremos nesse caso é encontrar o número que duplicado e depois subtraído por doze resulta em 8. Está claro que o valor de x é um valor positivo, pois temos que encontrar 8 positivo como resposta, e x não pode ser menor que 6 já que anularia o primeiro termo da equação. Com essas duas informações em mente podemos chegar mais rápido ao nosso resultado apenas fazendo tentativas.
2.7-12=8 ↔14-12=8 ↔2=8 (errado)
2.8-12=8 ↔16-12=8 ↔4=8 (errado)
2.9-12=8 ↔18-12=8 ↔6=8 (errado)
2.10-12=8 ↔20-12=8↔8=8 (verdade). Então x=10
Se ensina esse método como uma forma de se resolver uma equação quando a pessoa tem uma certa dificuldade com o passo-a-passo da resolução. Mais agora vamos resolver a equação da maneira correta em que aprendemos na escola.
2x-12=8
2x=8+12
2x=20
x=20/2
x=10
O ideal é aprendermos a resolver a equação da forma correta já que, quando a resposta é um número fracionário é muito mais complicado resolver por tentativas do que resolvermos a equação da maneira correta. Preste atenção na equação na resolução por tentativa da equação abaixo.
5x-11=6
5.3-11=6↔15-11=6↔4=6 (falso)
5.4-11=6↔20-11=6↔9=6 (falso)
5.5-11=6↔25-11=6↔14=6(falso)
Como podemos perceber quando substituímos o x por 3 o primeiro termo da equação foi menor que o segundo termo, e as tentativas por 4 e 5, o primeiro termo foi maior que o segundo termo. Isso significa que a resolução dessa equação está entre 3 e 4, isto é, um número fracionário. Só nos resta resolvê-las pelo método tradicional.
5x-11=6
5x=6+11
5x=17
x= 17/5
Exercícios resolvidos
1) 9x-34=5x-35 Verificação
9x-5x=-35+34 Substituindo o x por -1/4 temos:
4x=-1 9.(-1/4)-34=5.(-1/4)-35
x=-1/4 -9/4-34=-5/4-35
como só temos o algarismo 4 como denominador, vamos usá-lo como
Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c.). Clique aqui para mais detalhes.
[4:4.(-9)-4:1.34]=[4:4.(-5)-4:1.35]/4
S={-1/4} [-9-136]/4=[-5-140]/4
-145/4=-145/4 (v)
2)2y-13=2y-13
2y-2y=-13+13
0y=0 
Observe que no primeiro membro a incógnita y está multiplicada por zero e que o segundo membro também é zero. Nessa situação, qualquer valor que eu escolher como valor de y vai tornar verdadeira a equação. Nesse caso o conjunto solução será:
S=
3) 5v+10=5v-18
5v-5v=-18-10
0v=-28
Observe que agora a situação é outra. O primeiro membro está multiplicado por zero mais o segundo membro agora é -28, o que modifica a resposta dada no exemplo anterior. Se todo número multiplicado por zero é zero, então o primeiro membro dessa equação sempre vai ser zero, enquanto o segundo membro sempre será -28. Para que se haja equação deve haver uma variável, e essa foi anulada pelo número zero então dizemos que deixou de existir a equação.
4)2,7m-5,01=2,3m+6,9
Vou resolver essa questão de duas maneiras diferentes e vocês escolherão a maneira . mais fácil
Primeiro: 2,7m-2,3m=6,9+5,01
0,4m=11,91
m=11,91/0,4
m=29,775
Esse método é resolvendo com números decimais. Agora vou ensiná-los a resolver transformando todos os números decimais em fração. Antes vamos as transformações:
2,7 é o mesmo que 27/10
5,01 é o mesmo que 501/100
2,3 é o mesmo que 23/10
6,9 é o mesmo que 69/10
Feita as transformações vamos a resolução.
27/10m-501/100=23/10m+69/10
27/10m-23/10m=69/10+501/100
O m.m.c. de 10 e 100 é 100, então
[100:10.27-100:10.23]/100=[100:10.69+100:100.501]/100
10.27m-10.23m=10.69+1.501
270m-230m=690+501
40m=1191
m=1191/40 Fazendo a divisão encontramos
m=29,775
Verificação
2,7m-5,01=2,3m+6,9
2,7.29,775-5,01=2,3.29,775+6,9
80,3925-5,01=68,4825+6,9
75,3825=75,3825 (v)
5) 6k-√3=12k+5√5 Verificação
6k-12k=5√5+√3 6[(-5√5-√3)/6]-√3=12[(-5√5-√3/6)]+5√5
-6k=5√5+√3 ignoramos ambos fazendo a divisão 12por 6
-k=5√5+√3/6 (-1) os 6 do primeiro temos 2(-5√5-√3)+5√5
k=-5√5-√3/6 membro,temos
-5√5-√3-√3=-10√5-2√3+5√5
-5√5-2√3=-5√5-2√3 (v)
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Equação de 2° grau
Uma equação é de segundo grau quando na forma ax²+bx+c=0, onde a≠0. (observação:quando a=0 a equação deixa de ser de 2° já que qualquer número multiplicado por 0 se anula).
Calculamos uma equação de 2° grau pela fórmula de Báskara:
Vejamos alguns exemplos resolvidos de equação de 2°:
a)x²-2x-15=0, onde a=1;b=-2;c=-15
Usando a fórmula temos
Δ=(-2)²-4*1*(-15)
Δ=4+60
Δ=64
x= -(-2)± √64/2*1
x=2±8/2
x'=2+8/2
x'=10/2↔x1=5
x''=2-8/2
x''=-6/2↔x''=-3 S={5,-3}
b)x²+9x+4=0, onde a=1;b=9;c=4
Δ=9²-4*1*4
Δ=81-16
Δ=65
x=-9±√65/2*1
x'=-9+√65/2
x''=-9-√65/2 S={-9+√65/2,-9-√65/2}
Observações: 65 não tem raiz exata e surgiu do produto de dois números primos (5 e 13) portanto não é possível fatorar.
c)-3x²-4x-13=0, onde a=-3;b=-4;c=-13
Δ=(-4)²-4*(-3)*(-13)
Δ=16-156
Δ=-140 S=ø
Quando o valor de delta é um número negativo não é possível, no conjunto dos números reais, prosseguir com o cálculo. Portanto a solução é o conjunto vazio.
d)-x²+6x-9=0, onde a=-1;b=6;c=-9
Δ=6²-4*(-1)*(-9)
Δ=36-36
Δ=0
x=-6±√0/2*(-1) Nesse caso o uso do (-1) é para alterar o sinal da incógnita sem alterar os números em si. No alfabeto não há letra negativa.
x=-6±0/-2
x'=x''=-6/-2↔3
S={3}
e)5y²-13=0, onde a=5;b=0;c=-13
Nesse caso podemos resolver de duas maneiras: com o uso da fórmula de Báskara
ou com o método da substituição. Resolveremos primeiro usando a fórmula.
Δ=0²-4*5*(-13)
Δ=0+260
Δ=260
y=0±√260/2*5
y=±√260/10↔fatorando 260 temos:±√2²*5*13/10 ou ±2√65/10↔±1/5√65 esse valor equivale aproximadamente 1,61
Agora pelo método da substituição.
5y²-13=0
5y²=13
y²=13/5
y=±√13/5 ou aproximadamente 1,61
S={1,61}
f)4z²+5z=0,onde a=4;b=5;c=0
Resolvendo pelo delta temos:
Δ=5²-4*5*0
Δ=25-0
Δ=25
z=-5±√25/2*4
z=-5±5/8
z'=-5+5/8 ou 0/8 ou 0
z''=-5-5/8 ou -10/8 ou -5/4
S={0,-5/4}
Agora resolverei colocando o z em evidência
4z²+5z=0
z*(4z+5)=0
z=0
4z+5=0
4z=-5
z=-5/4
S={0,-5/4}
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